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 indovinello matematico.

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AutoreMessaggio
Nefherret
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MessaggioTitolo: indovinello matematico.   Sab Mag 08, 2010 2:02 am

ecco un indovinello che ultimamente mi hanno proposto. mi hanno detto che è vecchiotto quindi sicuramente lo conoscerete gia. io non lo conoscevo e la risposta mi è sembrata molto interessante...

vi sono due stanze separate tra loro. nella stanza A vi sono 1000 interruttori numerati da 1 a 1000 e nella stanza B vi sono 1000 lampadine inizialmente spente. ciascun interruttore cambia lo stato delle lampadine che hanno numero pari al numero dell'interruttore e ai suoi multipli. cioè se premi il numero 1 si accendono tutte le lampadine. se poi premo il 2 ottengo che tutte le dispari sono accese e quelle pari sono spente. se poi premo il 3 ottengo che le pari rimangono spente e se spengono tutte le dispari eccetto la lampadina 1 e cosi via...

domanda: se premo tutti gli interruttori e poi vado nella stanza delle lampadine quali mi aspetto di vedere accese e quali invece mi aspetto di vedere spente?
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Asurian
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MessaggioTitolo: Re: indovinello matematico.   Sab Mag 08, 2010 12:24 pm

Allora, una lampadina cambia il suo stato tante volte quante sono i
numeri interi diversi che la dividono. La lampadina è accesa se
questo numero è dispari, è spenta se questo numero è pari.

Il tutto si riduce a trovare quanti sono i divisori.

Proviamo a scomporre un numero x in fattori di numeri primi.
Otteniamo tutti i divisori di x con dei prodotti di questi numeri primi.
Il numero di divisori interi di x è dato dal numero di diverse combinazioni
di fattori di numeri primi che posso comporre, al quale va aggiunto 1
(a causa proprio del numero 1, che non è un numero primo e quindi viene
trascurato nel calcolo)

Prendiamo il numero 72. Esso è diviso da 1, 72,2,36,3,24,4,18,6,12,8,9:
pertanto 12 divisori diversi
72 viene scomposto in 2*3*3*4
Le combinazioni di prodotti diverse che posso ottenere sono:
2
3
4
2*3
2*4
3*3
3*4
2*3*3
2*3*4
3*3*4
2*3*3*4
In totale 11. Va appunto aggiunto 1 per il motivo spiegato prima, e
quindi otteniamo 12, come è giusto che sia

Facciamo l'esempio di 24, diviso per 1,24,2,12,3,8,4,6 quindi 8 numeri
24 è composto da 2*2*2*3
combinazioni diverse:
2
3
2*2
2*3
2*2*2
2*2*3
2*2*2*3
sono 7, a cui si aggiunge 1, ovvero 8 divisori interi totali, come
previsto

Questo calcolo è possibile esprimerlo con una formula neanche troppo
complicata di matematica combinatoria, che esprime quante diverse
combinazioni posso appunto formare considerando gli elementi a
disposizione.

Sono convinto che ci sia un'altra via piu comoda, intuitiva e immediata
, ma mi piace risolvere le cose con un
approccio matematico

Mi pare tuttavia di vedere una "pattern"...non è che solo i numeri che sono dei quadrati di un numero intero sono divisibili per un numero dispari di numeri interi diversi? In fondo posso accoppiare i divisori di x, quindi fare un totale pari, tranne per due divisori uguali di x.

Pertanto mi verrebbe da dire: "tutti i numeri che sono dei quadrati di un numero intero sono accesi (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...), gli altri sono spenti"
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Nefherret
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MessaggioTitolo: Re: indovinello matematico.   Sab Mag 08, 2010 5:23 pm

esatto i quadrati perfetti sono accesi! il mio ragionamento è stato esattamente il tuo XD.

complimenti asurian!!!
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Nefherret
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MessaggioTitolo: Re: indovinello matematico.   Sab Mag 08, 2010 5:32 pm

a dire il vero conoscendo la persona che me l'ha posto io inizialmente cercavo di ragionare in binario per risolverlo XD. secondo me si puo fare.
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Asurian
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MessaggioTitolo: Re: indovinello matematico.   Lun Mag 10, 2010 6:06 pm

Ehehe un informatico immagino

In che modo volevi procedere? Un po' come per il pc 0=spento 1=acceso, e considerare l'array delle lampadine come un numero in binario?

E da lì poi cosa avresti voluto fare? sottrarre un numero corrispondente all'accensione di una lampadina?

Sarebbe interessante provare a risolverlo in binario una volta che si trova un po' di tempo...



"Questo gioco farebbe uscire il peggio anche da Ghandi" cit.
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Nefherret
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MessaggioTitolo: Re: indovinello matematico.   Mar Mag 11, 2010 12:47 am

un fisico anche lui ma patito per l'informatica... cosa che sta prendendo anche me ultimamente XD.

vedere i numeri in base due e mettere quelli in un array. ovvero provare ad immaginare i numeri (variabile integer) con le loro rispettive rappresentazioni binarie (private del primo bit che rappresenta il segno, ovviamente qui sono solo positivi) e costruire cosi un array di numeri in base dieci e poi considerare i loro codici cosi come il computer le conosce... e vedere cosa cambiava azionando gli interruttori... magari qualche traccia, qualche regolarita si trovava... poi ho pensato alle potenze e allora ho capito che il problema è in verita molto elementare XD. ma sai quando conosci molte cose anche le soluzioni piu ovvie vengono meno... sei un fisico dovresti capirmi: ma quanto è bello complicarsi la vita??? XD

avevo pensato anche a ragionare cosi come dici tu... ma regolarita non ne ho trovate, anche se ci sono stati li molto poco.
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MessaggioTitolo: Re: indovinello matematico.   

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indovinello matematico.
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