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 La lancia di Crono

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AutoreMessaggio
Yakumo-dono
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MessaggioTitolo: La lancia di Crono   Mar Set 07, 2010 9:09 pm


"Si narra che Crono, il dio del tempo, avesse una lancia molto speciale. Questa poderosa arma, lanciata dalle mani esperte, aveva la proprietà unica di risultare accelerata esattamente della velocità a cui procedeva. Un giorno decise di scagliare la sua lancia ad un monte distante 100 Km. A quale velocità la lancia giunse sulla vetta, e quanto tempo ci impiegò?


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Asurian
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Mer Set 08, 2010 3:37 pm

Con che velocità parte dalle mani di Crono? Perché se si assume 0 come velocità iniziale, e quindi zero la sua accelerazione, la sua velocità rimarra costante, ovvero 0. Pertanto non si muoverà.



"Questo gioco farebbe uscire il peggio anche da Ghandi" cit.
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Yakumo-dono
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Mer Set 08, 2010 3:49 pm

Asurian ha scritto:
Con che velocità parte dalle mani di Crono? Perché se si assume 0 come velocità iniziale, e quindi zero la sua accelerazione, la sua velocità rimarra costante, ovvero 0. Pertanto non si muoverà.

In virtù del controllo sul tempo, Crono riesce, eccezione alla regola, a scagliare la lancia, nonostante la velocità iniziale sia infinitesima, quasi nulla, ma diversa da 0.

(Asurian fornisce comunque la prima delle due soluzioni del problema!)


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Asurian
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Mer Set 08, 2010 4:05 pm

A meno di sviste clamorose dal punto di vista logico, dovrebbe valere che:

Sia v0 la velocità iniziale, x0=0 la posizione iniziale

Per definzione:

a(t)= v(t)'

Abbiamo che a(t)= v(t)
e otteniamo quindi l'equazione differenziale:

v(t)=v(t)'

La cui soluzione è (tenedo conto della condizione a contorno):
V(t)=v0exp(t)

Integrando la velocità otteniamo l'equazione per la posizione al tempo t

x(t)= Vo exp(t)+x0=VO exp(t)

Poniamo x = 10^5
e otteniamo per il tempo:

t=ln(10^5/V0)

In quell'instante la velocità è ovviamente:

V(t=ln(10^5/v0))= v0exp(ln(10^5/V0))=10^5

Notare come v0 deve essere non nullo altrimenti non è consentita la divisione



"Questo gioco farebbe uscire il peggio anche da Ghandi" cit.
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Yakumo-dono
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Mer Set 08, 2010 7:49 pm

Il ragionamento è esatto come esatta è la soluzione.
Ci tengo a far notare che essendo v0 infinitesimo, anche il tempo tende a infinito!
Questo mostra che Crono era davvero il dio del tempo, se poteva permettersi di scagliare lance che impiegano tempi infiniti per arrivare al bersaglio.


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Maresciallo_Helbrecht
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Mer Set 08, 2010 7:55 pm

ehm... sarà che io e i numeri non siamo molto amici... ma ci ho capito poco piu di nulla.. :sorr:


Non Nobis Domine, Non Nobis Sed Nomine Tuo Da Gloriam - Dictatus Templare

One Ring to rule them all, one Ring to find them, one Ring to bring them all and in the darkness bind them - J.R.R.Tolkien, TlotR
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Nani4ever
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Sab Set 11, 2010 11:19 am

o.O erch.... la soluzione sarebbe?
io non ho capito una sola parola di quello che ha detto asurian xD



Difendi la Gilda col sangue e l'acciaio. Fiero di essere un Mercenario!
Spoiler:
 
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Yakumo-dono
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Sab Set 11, 2010 3:33 pm

Diciamo che ci sono due approcci.
Quello "matematico" di dire che poiché l'accelerazione è la derivata della velocità, se queste due sono uguali allora devono essere una funzione che derivata da sé stessa, ma questa funzione per definizione è solo la funzione esponenziale.
Quello "ingegneristico" lavora sui differenziali in maniera più spicciola:

se dV/dT= A=V/secondi e dS/dT=V allora dV/dT=(dS/dT)/secondi e siccome vO è infinitesimo, integrando si ottiene che V=S/secondi ossia che lo spazio equivale alla velocità a costo di dividere i metri dello spazio per i secondi.

Alla fine è un trucco di integrali, ma è interessante da porre perché mostra la potenza della funzione esponenziale!


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gattokiatto
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Sab Set 11, 2010 5:07 pm

Interessante......Yakumo chi ti ha posto questo interessante quesito??
oppure dove hai trvato questo quesito??

Comunque davvero interessante.
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Asurian
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MessaggioTitolo: Re: La lancia di Crono   Sab Set 11, 2010 5:32 pm

Citazione :
Ci tengo a far notare che essendo v0 infinitesimo, anche il tempo tende a infinito!

La velocità è invece indipendente da v0!

Citazione :
o.O erch.... la soluzione sarebbe?
io non ho capito una sola parola di quello che ha detto asurian xD

Provo a spiegare in breve la soluzione:

In fisica l'accelerazione è definita come la derivata della velocità (indicata con un apostrofo): detto in modo molto rudimentale è "quanto cambia la velocità al secondo". In realtà come spiegazione è molto imprecisa, ma si intuisce che vuol dire.

Nel nostro caso la velocità è pari all'accelerazione, quindi

v(t)=a(t)=v(t)'

v(t)= v(t)' è una equazione differenziale, ovvero una equazione dove invece che un numero, l'icognita è una funzione.
La soluzione è abbastanza semplice dal punto di vista matematico e troviamo quindi la velocità v(t) come funzione del tempo.

Dato che la funzione x(t), ovvero la posizione al tempo t, è l'integrale della velocità (per integrale si intende la ricerca di una funzione primitiva, ovvero una funzione che derivata dà la funzione di partenza, è il contrario della derivata insomma), otteniamo tutto ciò che ci serve. Ponendo x(t)=100000 otteniamo un valore per t.

Cmq sono tutte cose che si studiano al liceo scientifico e occorre parecchio lavoro per comprenderle. Una volta comprese la questione è molto più semplice.

Citazione :
Interessante......Yakumo chi ti ha posto questo interessante quesito??
oppure dove hai trvato questo quesito??

Comunque davvero interessante.

Più che un quesito direi che è una domanda per una verifica di "metodi matematici di fisica" sulle equazioni differenziali. Ci sono molti problemi simili a questo (decadimento alfa per esempio)



"Questo gioco farebbe uscire il peggio anche da Ghandi" cit.
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La lancia di Crono
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